Le cas du syllogisme : sa formalisation

Dans les Premiers Analytiques, Aristote s’emploie à dégager le formalisme sur lequel repose la nécessité proprement logique du syllogisme démonstratif. Pour cela il utilise des lettres symboliques (A, B, C) représentant les termes composant chaque proposition du syllogisme, ainsi qu'un élément de liaison, la copule, permettant d’associer ces termes de façon à produire des propositions affirmatives ou négatives ("appartient à" / "n’appartient pas à" ; on peut écrire aussi : "est dit de" / "n’est pas dit de"), enfin des éléments permettant de définir le périmètre d’application de la proposition considérée : "tout", "aucun", "quelque".

Ainsi, les propositions de départ d’un raisonnement syllogistique, appelées ses prémisses, ainsi que sa conclusion, peuvent être des propositions :

• universelles affirmatives, par exemple : A appartient à tout B.
  
• universelles négatives, par exemple : A n’appartient à aucun B.
  
• particulières affirmatives, par exemple : A appartient à quelque B.
  
• particulières négatives, par exemple : A n’appartient pas à quelque B.
  

Dans un syllogisme démonstratif, la nécessité logique ou non de la conclusion qui est tirée de ses deux prémisses dépend de la relation logique qui s’établit entre elles en raison de la présence, dans chacune d’elles, d’un terme commun qui permet de les relier, appelé moyen terme. Par exemple :  

Si A appartient à tout B,

Et si A appartient à tout C,

Alors A appartient à tout C.

La première proposition est appelée la prémisse majeure : elle contient le terme majeur (A) appelé aussi le grand extrême qui est attribué ("appartient à" / "est dit de") au moyen terme (B) ; la deuxième proposition est appelée la prémisse mineure : elle contient le moyen terme (B) qui est attribué au terme mineur (C) appelé aussi le petit extrême ; la troisième proposition est appelée la conclusion.

On peut comprendre plus intuitivement comment la nécessité de la conclusion est obtenue, en remplaçant les lettres symboliques par des termes du langage courant :

Si être vivant (A) est dit de tout être humain (B),

Et si être humain (B) est dit de tout Spartiate (C),

Alors être vivant (A) est dit de tout Spartiate (C).

Ou dans une expression moins stricte :

 Si tout être humain (B) est un être vivant (A),

Et si tout Spartiate (C) est un être humain (B),

Alors tout Spartiate (C) est un être vivant (A).

Il s’agit ici du premier mode de la première figure du syllogisme (il y a, en tout, quatre figures de syllogismes, comportant chacune six modes, dont tous cependant ne sont pas conclusifs), qui permet de tirer d’une prémisse majeure universelle affirmative (A est dit de tout B – Tout être humain est vivant) et d’une prémisse mineure universelle affirmative (B est dit de tout C – Tout Spartiate est un être humain) une conclusion qui est également une universelle affirmative (A est dit de tout C – Tout Spartiate est un être vivant). Ici le grand terme (A) est "être vivant", le moyen terme (B), qui permet de relier logiquement les deux prémisses entre elles, est "être humain" et le petit terme (C) est "Spartiate".

Pour mieux comprendre la relation de nécessité qui s’établit entre les trois termes du syllogisme (A, B et C), on peut les interpréter comme des classes d’êtres ou d’objets entretenant entre elles ou non des rapports d’inclusion, et que l’on peut figurer par le diagramme suivant :

Le syllogisme établit un rapport de nécessité entre le petit terme ("Spartiates") et le grand terme ("êtres vivants") par l'intermédiaire du moyen terme ("êtres humains").